题目:
如图,任意四边形ABCD,对角线AC、BD交于O点,过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线,四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变时,

四边形EFGH的形状会有哪些变化?完成以下题目:
(1)当ABCD为任意四边形时,EFGH为
平行四边形
平行四边形
;
当ABCD为矩形时,EFGH为
菱形
菱形
;
当ABCD为菱形时,EFGH为
矩形
矩形
;
当ABCD为正方形时,EFGH为
正方形
正方形
;
当EFGH是矩形时,ABCD为
对角线垂直的四边形
对角线垂直的四边形
;
当EFGH是菱形时,ABCD为
对角线相等的四边形
对角线相等的四边形
;
当EFGH是正方形时,ABCD为
对角线相等且垂直的四边形
对角线相等且垂直的四边形
.
(2)请选择(1)中任意一个你所写的结论进行证明.
(3)反之,当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时,相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件?
答案
平行四边形
菱形
矩形
正方形
对角线垂直的四边形
对角线相等的四边形
对角线相等且垂直的四边形
解:(1)平行四边形;菱形;矩形;正方形;对角线垂直的四边形;对角线相等的四边形;对角线相等且垂直的四边形.
(2)结合图形,联想特殊四边形的特征及识别很容易发现,其中的桥梁为AC、BD.
证明:①当ABCD为任意四边形时,EFGH为平行四边形.
∵EH∥AC∥FG,EF∥BD∥GH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
证②:若ABCD为矩形,则EFGH为菱形.
∵EH∥AC∥FG,EF∥BD∥GH.
∴四边形EACH,ACGF,EFBD,BDHG,EFGH均为平行四边形.
∴EH=AC=FG,EF=BD=GH.
∵四边形ABCD为矩形.
∴AC=BD.
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH.
∴四边形EFGH为菱形.
③若ABCD为菱形,则EFGH为矩形.
(3)当平行四边形EFGH是矩形时,四边形ABCD必须满足:对角线互相垂直.
当平行四边形EFGH是菱形时,四边形ABCD必须满足:对角线相等.