试题

如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：
（1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为；
当ABCD为矩形时，EFGH为；
当ABCD为菱形时，EFGH为；
当ABCD为正方形时，EFGH为；
当EFGH是矩形时，ABCD为；
当EFGH是菱形时，ABCD为；
当EFGH是正方形时，ABCD为．
（2）请选择（1）中任意一个你所写的结论进行证明．
（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？

解：（1）平行四边形；菱形；矩形；正方形；对角线垂直的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等且垂直的四边形．

（2）结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．
证明：①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
证②：若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．
∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．
∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．
∵四边形ABCD为矩形．
∴AC=BD．
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．
∴四边形EFGH为菱形．
③若ABCD为菱形，则EFGH为矩形．

（3）当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．
当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．