试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1，以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，那么M1的坐标为
（
1
2
，
1
2
）
（
1
2
，
1
2
）
；这样作的第n个正方形的对角线交点Mn的坐标为
(1-
1
2n
，
1
2n
)或另一书写形式(
2n-1
2n
，
1
2n
)
(1-
1
2n
，
1
2n
)或另一书写形式(
2n-1
2n
，
1
2n
)
．
答案
（
1
2
，
1
2
）

(1-
1
2n
，
1
2n
)或另一书写形式(
2n-1
2n
，
1
2n
)

解：因为正方形的边长为1，
则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B1（1，1），A1（1，0），
在正方形OA1B1C中，
∴OM1=M1A1，∠OM1A1=90°，
设OM1=M1A1=x，
由勾股定理得：x2+x2=12，
解得：x=
2
2
，
同理可求出OA2=A2M1=
1
2
，A2M2=
2
4
，A2A3=
1
4
，…，
根据正方形对角线性质可得：M1的坐标为（1-
1
2
，
1
2
），
故答案为：（
1
2
，
1
2
）；
同理得M2的坐标为（1-
1
2 2
，
1
2 2
），
M3的坐标为（ 1-
1
2 3
，
1
2 3
），
…，
依此类推：Mn坐标为（ 1-
1
2 n
，
1
2 n
）=(
2n-1
2n
，
1
2n
)，
故答案为：(1-
1
2n
，
1
2n
)或另一书写形式(
2n-1
2n
，
1
2n
)．
考点梳理
正方形的性质；坐标与图形性质．
根据正方形的性质得到OM1=M1A1，∠OM1A1=90°，设OM1=M1A1=x，由勾股定理得到方程x2+x2=12，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的边长，进而得到M1的坐标，M2的坐标，…，依此类推可求出第n个正方形对角线交点Mn的坐标．
本题主要考查对正方形的性质，坐标与图形性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的数据得到规律是解此题的关键．
规律型．
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