试题

如图，在正方形ABCD中，AE=AB，∠AEB=75°．
求证：（1）△BEF是等腰三角形；
（2）点E在线段AD的垂直平分线上．

证明：（1）∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠FBE=∠ABE-∠ABD=75°-45°=30°，
在△BEF中，∠BFE=180°-∠FBE-∠AEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BF=BE，即△BEF是等腰三角形；

（2）连接DE，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-75°-75°=30°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-30°=60°，
∵正方形ABCD中，AD=AB，
又∵AB=AE，
∴AE=AD，
∴△ADE是等边三角形．
∴AE=DE，
∴点E在线段AD的垂直平分线上．
证明：（1）∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠FBE=∠ABE-∠ABD=75°-45°=30°，
在△BEF中，∠BFE=180°-∠FBE-∠AEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BF=BE，即△BEF是等腰三角形；

（2）连接DE，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-75°-75°=30°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-30°=60°，
∵正方形ABCD中，AD=AB，
又∵AB=AE，
∴AE=AD，
∴△ADE是等边三角形．
∴AE=DE，
∴点E在线段AD的垂直平分线上．