试题

题目：
如图，已知边长为a的正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC交于点O，且AE=青果学院CF．
（1）若a=4，则四边形EBFD的面积为
16
16
；
（2）若AE=
1
3
AB，求四边形ACFD与四边形EBFD面积的比；
（3）设BE=m，用含m的式子表示△AOE与△COF面积的差．
答案
16

解：（1）∵AE=CF，∠EAD=∠FCD，AD=CD，
∴△DAE≌△DCF，
∴四边形EBFD的面积=正方形ABC的面积=42=16；

（2）CF=AE=
1
3
AB=
a
3
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD=AB=a，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD∥BC，
∴S四边形ACFD=
(CF+AD)CD
2
=
(
a
3
+a)a
2
=
2a2
3
，
S四边形EBFD=S四边形EBCD+S△CFD=S四边形EBCD+S△AED=S正方形ABCD=a2，
∴S四边形ACFD：S四边形EBFD=
2a2
3
：a2=2：3；

（3）CF=AE=a-m，FB=a+a-m=2a-m，
由（2）知∠ABC=90°，AB=BC，可得，
S△AOE+S四边形EOCB=S△ABC=
AB2
2
=
a2
2
，
S△COF+S四边形EOCB=S△EBF=
EB·FB
2
=
m(2a-m)
2
=
2am-m2
2
，
∴S△AOE+S四边形EOCB-（S△COF+S四边形EOCB）=
a2
2
-
2am-m2
2
=
a2-2am+m2
2
，
即S△AOE-S△COF=
a2-2am+m2
2
．
考点梳理
正方形的性质；三角形的面积．
（1）由AE=CF，∠EAD=∠FCD，AD=CD，得△DAE≌△DCF，即四边形EBFD的面积与正方形ABCD的面积相等，且为16；
（2）梯形ACFD的面积可根据公式直接求出，四边形EBFD的面积可根据S四边形EBFD=S四边形EBCD+S△CFD=S四边形EBCD+S△AED计算；
（3）△AOE与△COF的面积差，即为△ABC与△EBF的面积差．根据所给条件可以直接求得△ABC与△EBF的面积．
综合正方形性质与三角形全等解题，要求思维灵活，擅于变通．
计算题；证明题．
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