试题

题目：
青果学院如图，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sn，猜想出Sn与n的关系
Sn=
5
2 n+1
Sn=
5
2 n+1
．
答案
Sn=
5
2 n+1

解：可以发现，第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为（
2
2
）1=
2
2
，第3个正方形的边长为（
2
2
）2=
1
2
，第n个正方形的边长为（
2
2
）（n-1）∴第n个正方形的面积=[（
2
2
）2]n-1=
1
2n-1
，则第n个等腰直角三角形的面积为：
1
2n-1
×
1
4
=
1
2n+1
，
∴Sn=
1
2n+1
+
1
2n-1
=
5
2 n+1
，
故答案为：S=
5
2 n+1
．
考点梳理
正方形的性质；等腰直角三角形．
观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．
本题利用了等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长的
2
2
倍，及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（
2
2
）n-1是解题的关键．
压轴题；规律型．
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