试题

题目：
已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD的面积的最大值为
32
32
．
答案
32

青果学院解：如右图所示，连接BD，
∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
S△ABD=
1
2
AD·BDsin∠ADB，
S△BCD=
1
2
BD·BCsin∠BCD，
∴当∠ADB=∠BCD=90°时，S△ABD、S△BCD有最大值，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
1
2
AD·BD+
1
2
BD·BC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S四边形ABCD=
1
2
BD（16-BD）=8BD-
1
2
BD2，
∵a=-
1
2
＜0，
∴当BD=-
b
2a
=8时，四边形ABCD的面积有最大值=
4ac-b2
4a
=32．
故四边形ABCD的最大面积是32．
考点梳理
正方形的性质．
先画图，由于S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，那么当∠ADB=∠BCD=90°时，S△ABD、S△BCD有最大值，也就是四边形ABCD有最大值，再结合AD+DB+BC=16，可求S四边形ABCD=8BD-
1
2
BD2，再利用二次函数的求最值问题，即可求四边形ABCD的面积．
本题考查了四边形面积的计算、二次函数的性质．已知两边和夹角，可利用夹角的正弦来求面积．要使三角形面积最大，则夹角应等于90°．
压轴题．
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