试题

（2010·秀洲区一模）一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：
（1）把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图（a）所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在边BC上，连接PD，求证：△ADP≌△ABQ．
（2）如图（b），O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM=ON．
（3）如图（c），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的关系式．

证明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在等腰Rt△PAQ中，AQ=AP，
又∵∠ABC=∠ADP，
∴△ADP≌△ABQ（HL）；

（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∠AON=90°-∠NOB，
∠BOM=90°-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM，
又∵∠OBM=∠OAN，OA=OB，
∴△OAN≌△OBM，
∴OM=ON；

（3）作FE⊥AB，FH⊥BC，
∵∠NFE=90°-∠EFM，
∠MFH=90°-∠EFM，
∴∠NFE=∠MFH．
又∵∠NEF=∠MHF，
∴△FEN∽△FHM．
故

FE

FH

=

FN

FM

，
即

3

2

=

y

x

，
整理得y=

3

2

x．
证明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在等腰Rt△PAQ中，AQ=AP，
又∵∠ABC=∠ADP，
∴△ADP≌△ABQ（HL）；

（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∠AON=90°-∠NOB，
∠BOM=90°-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM，
又∵∠OBM=∠OAN，OA=OB，
∴△OAN≌△OBM，
∴OM=ON；

（3）作FE⊥AB，FH⊥BC，
∵∠NFE=90°-∠EFM，
∠MFH=90°-∠EFM，
∴∠NFE=∠MFH．
又∵∠NEF=∠MHF，
∴△FEN∽△FHM．
故

FE

FH

=

FN

FM

，
即

3

2

=

y

x

，
整理得y=

3

2

x．