试题

当Rt△的直角顶点P要正方形ABCD对角线AC上运动（P与A、C不重合）且一直角边始终过点D，另一直角边与射线BC交于点E，
（1）如图1，当点E与BC边相交时，
①证明：△PBE为等腰三角形；
②写出线段AP、PC与EC之间的等量关系（不必证明）


（2）当点E在BC的延长线上时，请完成图2，并判断（1）中的①、②结论是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（不必证明）

解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=90°，
在△PBC和△PDC中，∵

BC=DC ∠BCP=∠DCP=45° PC=PC

，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴∠PBC=∠PDC．
∵∠BCD=∠DPE=90°
∴∠PDC+∠PEC=180°，又∠PEB+∠PEC=180°
∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB=∠PBC
∴PB=PE
∴△PBE为等腰三角形．
②EC=

PC-PA

2

另法：过P作PF垂直于BC，过E作EA′垂直于BC，交AC于A'，由平行线等分线段定理得PA=PA′，
易证△A′EC为等腰三角形，故A′C=

2

CE，
所以EC=

PC-PA

2

．

（2）结论①仍成立；
结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是EC=

PA-PC

2