试题

题目：
青果学院设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF．再以对角线AE为边作第三个正方形，如此下去…
（1）记正方形ABCD的边长为a1=1．按照上述方法所作的正方形边长依次记为a2，a3，a4，…，请写出a2，a3，a4的值；
（2）根据以上规律，请你写出用含字母n的代数式表示第n个正方形的边长．
答案
解：（1）a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=
2
a1=
2
，
同理a3=
2
a2=（
2
）a1=2，
a4=
2
a3=（
2
）3a1=2
2
；
（2）由（1）结论可知：

a2=
2
a1=
2
，
a3=
2
a2=（
2
）a1=2，
a4=
2
a3=（
2
）3a1=2
2
；
…
故找到规律
an=（
2
）n-1a1=（
2
）n-1．
解：（1）a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=
2
a1=
2
，
同理a3=
2
a2=（
2
）a1=2，
a4=
2
a3=（
2
）3a1=2
2
；
（2）由（1）结论可知：

a2=
2
a1=
2
，
a3=
2
a2=（
2
）a1=2，
a4=
2
a3=（
2
）3a1=2
2
；
…
故找到规律
an=（
2
）n-1a1=（
2
）n-1．
考点梳理
正方形的性质．
（1）求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．
（2）由（1）知，a2=
2
a2…，an=
2
an-1可以找出第n个正方形边长的表达式．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
规律型．
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