试题

如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S₁，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S₂，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S_n．
（1）求出S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）总结出S_n与S_n-1的关系，并猜想出S_n与n的关系．

解：下一个正方形面积为上一个正方形面积的

1

2

，下一个等腰直角三角形面积为上一个等腰直角三角形面积的

1

2

，
（1）S₁=1×1+

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

4

，
∴S₂=

1

2

+

1

2

×

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

8

，
S₃=

5

16

，
S₄=

5

32

．

（2）根据（1）的求解，总结规律：S_n=

1

2

S_n-1，
可以发现：
第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（

2

2

）¹=

2

2

，
第3个正方形的边长为（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n个正方形的边长为（

2

2

）^（n-1）
∴第n个正方形的面积=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
则第n个等腰直角三角形的面积为：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n与n的关系为：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

．
解：下一个正方形面积为上一个正方形面积的

1

2

，下一个等腰直角三角形面积为上一个等腰直角三角形面积的

1

2

，
（1）S₁=1×1+

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

4

，
∴S₂=

1

2

+

1

2

×

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

8

，
S₃=

5

16

，
S₄=

5

32

．

（2）根据（1）的求解，总结规律：S_n=

1

2

S_n-1，
可以发现：
第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（

2

2

）¹=

2

2

，
第3个正方形的边长为（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n个正方形的边长为（

2

2

）^（n-1）
∴第n个正方形的面积=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
则第n个等腰直角三角形的面积为：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n与n的关系为：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

．