试题

题目：
青果学院在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如上右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为
10·(
4
3
)4022
10·(
4
3
)4022
．
答案
10·(
4
3
)4022

解：∵点A（1，0），点D（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∴AD=
32+12
=
10
，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA1=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
又∵∠AOD=∠ABA1=90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴
OD
AD
=
OA
A1B
，
∴A1B=
10
3
，
∴第二个正方形的边长：A1C=A1B1=
10
+
10
3
=
4
10
3
，
∴第三个正方形的边长：A2C1=A2B2=（
4
3
）2
10
，
∴第四个正方形的边长：=（
4
3
）3
10
，
…，
第2012个正方形的边长：=（
4
3
）2011
10
，
∴第2013个正方形的面积为[：（
4
3
）2011
10
]2=10·(
4
3
)4022，

故答案为：10·(
4
3
)4022．
考点梳理
正方形的性质．
根据点A、D的坐标求出OA、OD的长，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A1B，从而求出第二个正方形的边长A1C=A1B1，同理求出第三个正方形的边长A2C1=A2B2，根据规律求出第2012个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键，题目的计算量不小，难度中等．
规律型．
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