试题

题目：
青果学院如图，正方形ABCD中，E点在边BC上，F点在边CD上，AF⊥ED．
（1）线段AF和DE相等吗？说明理由；
（2）求证：EF2=BE2+FD2．
答案
解：（1）AF=DE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠ADF=∠DCE=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°
∵AF⊥ED，
∴∠DFA+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
∵
∠DAF=∠EDC
AD=DC
∠ADF=∠DCE
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF=DE．

（2）∵△ADF≌△DCE，
∴DF=CE，
∴DC-DF=BC-CE，
即BE=CF，
在Rt△ECF中，由勾股定理，得
EF2=EC2+CF2，
∴EF2=BE2+FD2．
解：（1）AF=DE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠ADF=∠DCE=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°
∵AF⊥ED，
∴∠DFA+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
∵
∠DAF=∠EDC
AD=DC
∠ADF=∠DCE
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF=DE．

（2）∵△ADF≌△DCE，
∴DF=CE，
∴DC-DF=BC-CE，
即BE=CF，
在Rt△ECF中，由勾股定理，得
EF2=EC2+CF2，
∴EF2=BE2+FD2．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）由条件可以证明△ADF≌△DCE，从而就可以得出AF=DE．
（2）由△ADF≌△DCE可以得出EC=DF，就可以得出BE=CF，再根据勾股定理就可以得出结论．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及勾股定理的运用，解答本题时求出△ADF≌△DCE是关键．
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