试题

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，求证：∠FCN=45°，并说明理由；
（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则∠FCN等于多少度？请说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠GAD=∠EAB，
在△ADG和△ABE中，

AD=AB ∠GAD=∠EAB AG=AE

，
∴△ADG≌△ABE（SAS）．

（2）证明：过F作FQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中，

∠BAE=∠FEQ ∠ABE=∠EQF AE=EF

，
∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-EC=EQ-EC，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=

1

2

（180°-90°）=45°．

（3）解：∠FCN=135°，
理由是：过F作FQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中

∠BAE=∠FEQ ∠ABE=∠EQF AE=EF

∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-BQ=EQ-BQ，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=

1

2

（180°-90°）=45°，
∴∠FCN=180°-45°=135°．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠GAD=∠EAB，
在△ADG和△ABE中，

AD=AB ∠GAD=∠EAB AG=AE

，
∴△ADG≌△ABE（SAS）．

（2）证明：过F作FQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中，

∠BAE=∠FEQ ∠ABE=∠EQF AE=EF

，
∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-EC=EQ-EC，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=

1

2

（180°-90°）=45°．

（3）解：∠FCN=135°，
理由是：过F作FQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中

∠BAE=∠FEQ ∠ABE=∠EQF AE=EF

∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-BQ=EQ-BQ，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=

1

2

（180°-90°）=45°，
∴∠FCN=180°-45°=135°．