试题

已知，如图，正方形ABCD，菱形EFGP，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，延长DC，PH⊥DC于H．
（1）求证：GH=AE；
（2）若菱形EFGP的周长为20cm，cos∠AFE=

4

5

，FD=2，求△PGC的面积．

（1）证明：由菱形性质知：∠EFG+∠FGP=180°，EF=GP=EP=FG，
又∠AEF+∠AFE=90°，∠DFG+∠DGF=90°，∠AFE+∠EFG+∠DFG=180°，∠DGF+∠FGP+∠PGH=180°，
∴∠AFE=∠GPH，
又∵∠A=∠H，
∴△AEF≌△HGP，（AAS）
∴GH=AE；

（2）解：∵菱形EFGP的周长为20cm，
∴EF=GP=EP=FG=5cm，
又∵cos∠AFE=

4

5

，
∴在△AEF中，AF=4，EF=5，
又∵FD=2，
∴正方形边长=AD=DC=6，
在△DFG中，DG=

FG2-DF2

=

21

，
∴GC=6-

21

，
又由（1）知PH=AF，
∴△PGC的面积=

1

2

×GC×PH=

1

2

×GC×AF=12-2

21

（cm²）．
（1）证明：由菱形性质知：∠EFG+∠FGP=180°，EF=GP=EP=FG，
又∠AEF+∠AFE=90°，∠DFG+∠DGF=90°，∠AFE+∠EFG+∠DFG=180°，∠DGF+∠FGP+∠PGH=180°，
∴∠AFE=∠GPH，
又∵∠A=∠H，
∴△AEF≌△HGP，（AAS）
∴GH=AE；

（2）解：∵菱形EFGP的周长为20cm，
∴EF=GP=EP=FG=5cm，
又∵cos∠AFE=

4

5

，
∴在△AEF中，AF=4，EF=5，
又∵FD=2，
∴正方形边长=AD=DC=6，
在△DFG中，DG=

FG2-DF2

=

21

，
∴GC=6-

21

，
又由（1）知PH=AF，
∴△PGC的面积=

1

2

×GC×PH=

1

2

×GC×AF=12-2

21

（cm²）．