试题

（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？（不必证明）
（3）在（2）若将DM⊥ME换为MD=ME，能不能证明DM⊥ME？说明理由．

证明：（1）在AB上截取AM=DC，连接MD
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
又AM=DC，
∴BM=BD，
∴△MBD为等边三角形，
∴∠AMD=∠ACG=120°，
∵CF平分∠ACG，
∴∠DCE=120°，
∴∠AMD=∠DCE，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠MAD，
∴△AMD≌△DCE，
∴DA=DE；

（2）MD=ME；

（3）可以证明，
证明如下：连接DB并延长到N，
使BN=BE，DN交ME于点O，连接MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠MBN=135°，
∵BF平分∠CBG，
∴∠MBE=135°，∠DBE=90°，
∴∠MBN=∠MBE，
∴△MBN≌△MBE，
∴∠MNB=∠MEB，MN=ME，
∵ME=MD，
∴MN=MD，
∴∠MNB=∠MDN，
∴∠MDN=∠MEB，
∵∠MOD=∠BOE，
∴∠DME=∠DBE=90°．
证明：（1）在AB上截取AM=DC，连接MD
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
又AM=DC，
∴BM=BD，
∴△MBD为等边三角形，
∴∠AMD=∠ACG=120°，
∵CF平分∠ACG，
∴∠DCE=120°，
∴∠AMD=∠DCE，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠MAD，
∴△AMD≌△DCE，
∴DA=DE；

（2）MD=ME；

（3）可以证明，
证明如下：连接DB并延长到N，
使BN=BE，DN交ME于点O，连接MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠MBN=135°，
∵BF平分∠CBG，
∴∠MBE=135°，∠DBE=90°，
∴∠MBN=∠MBE，
∴△MBN≌△MBE，
∴∠MNB=∠MEB，MN=ME，
∵ME=MD，
∴MN=MD，
∴∠MNB=∠MDN，
∴∠MDN=∠MEB，
∵∠MOD=∠BOE，
∴∠DME=∠DBE=90°．