试题

如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形．

证明：（1）CN=DM，CN⊥DM．
理由如下：∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN=90°，
在△AMD和△DNC中，

AM=DN ∠A=∠CDN=90° AD=DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM，∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；

（2）如图，延长DM、CB交于点P，
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中，

∠MPC=∠MDA ∠A=∠MBP MA=MB

，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC，
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形．
证明：（1）CN=DM，CN⊥DM．
理由如下：∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN=90°，
在△AMD和△DNC中，

AM=DN ∠A=∠CDN=90° AD=DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM，∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；

（2）如图，延长DM、CB交于点P，
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中，

∠MPC=∠MDA ∠A=∠MBP MA=MB

，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC，
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形．