试题

如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为∠OBE角平分线上一点，连接OF、AF，G为BE上一点且BO=BG．
（1）若GF⊥OF，OF=1，求线段OG的长度；
（2）若∠AFB=90°，求证：AF=BF+OG．

解：（1）∵BF平分∠DBE，
∴∠OBF=∠EBF．
∵在△OBF和△GBF中

OB=GB ∠OBF=∠EBF BF=BF

，
∴△OBF≌△GBF（SAS），
∴OF=FG．
∵GF⊥OF，
∴∠GFO=90°．
∵OF=1，
∴OF=FG=1．
在Rt△OFG中，由勾股定理，得
OG=

1+1

=

2

；

（2）在线段AF上取一点M，使AM=BF，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF+∠ONA=90°．
∵∠AFB=90°，
∴∠FNB+∠OBF=90°．
∵∠ONA=∠FNB，
∴∠OAM=∠OBF．
∵在△AOM和△BOF中

AM=BF ∠OAM=∠OBF AO=BO

，
∴△AOM≌△BOF（SAS），
∴OM=OF，∠AOM=∠BOF．
∵∠AOM+∠MON=90°，
∴∠BOF+∠MON=90°
即∠MOF=90°．
∴∠OFM=45°，
∴MF=

2

OF，
∴∠BFO=∠OFM+∠AFB=135°．
∵△OBF≌△GBF，
∴∠BFG=∠BFO=135°，OF=GF．
∴∠OFG=360°-∠BFO-∠BFG=90°，
∴OG=

2

OF，
∴OG=MF．
∵AF=AM+MF，
∴AF=BF+OG．
解：（1）∵BF平分∠DBE，
∴∠OBF=∠EBF．
∵在△OBF和△GBF中

OB=GB ∠OBF=∠EBF BF=BF

，
∴△OBF≌△GBF（SAS），
∴OF=FG．
∵GF⊥OF，
∴∠GFO=90°．
∵OF=1，
∴OF=FG=1．
在Rt△OFG中，由勾股定理，得
OG=

1+1

=

2

；

（2）在线段AF上取一点M，使AM=BF，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF+∠ONA=90°．
∵∠AFB=90°，
∴∠FNB+∠OBF=90°．
∵∠ONA=∠FNB，
∴∠OAM=∠OBF．
∵在△AOM和△BOF中

AM=BF ∠OAM=∠OBF AO=BO

，
∴△AOM≌△BOF（SAS），
∴OM=OF，∠AOM=∠BOF．
∵∠AOM+∠MON=90°，
∴∠BOF+∠MON=90°
即∠MOF=90°．
∴∠OFM=45°，
∴MF=

2

OF，
∴∠BFO=∠OFM+∠AFB=135°．
∵△OBF≌△GBF，
∴∠BFG=∠BFO=135°，OF=GF．
∴∠OFG=360°-∠BFO-∠BFG=90°，
∴OG=

2

OF，
∴OG=MF．
∵AF=AM+MF，
∴AF=BF+OG．