试题

如图正方形AOBC，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，EF与OB交于G，连接AE、AB、BF．
（1）求证：AE=BF；
（2）若∠AEO=90°，AB=5

2

，OE=3，求OG的长．

（1）证明：在正方形AOBC中，AO=BO，
在等腰Rt△EOF中，EO=FO，
∵∠AOE+∠BOE=90°，∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵在△AOE和△BOF中，

AO=BO ∠AOE=∠BOE EO=FO

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵AB=5

2

，
∴AO=BO=

2

2

AB=

2

2

×5

2

=5，
∵∠AEO=90°，
∴AE=

AO2-EO2

=

52-32

=4，
根据（1）BF=AE=4，
∵∠EOG+∠BOF=∠EOF=90°，
∠FBG+∠BOF=180°-90°=90°，
∴∠EOG=∠FBG，
又∵∠EGO=∠FGB（对顶角相等），
∴△EOG∽△FOB，
∴

OG

BG

=

EO

BF

=

3

4

，
∴OG=5×

3

3+4

=

15

7

．
（1）证明：在正方形AOBC中，AO=BO，
在等腰Rt△EOF中，EO=FO，
∵∠AOE+∠BOE=90°，∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵在△AOE和△BOF中，

AO=BO ∠AOE=∠BOE EO=FO

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵AB=5

2

，
∴AO=BO=

2

2

AB=

2

2

×5

2

=5，
∵∠AEO=90°，
∴AE=

AO2-EO2

=

52-32

=4，
根据（1）BF=AE=4，
∵∠EOG+∠BOF=∠EOF=90°，
∠FBG+∠BOF=180°-90°=90°，
∴∠EOG=∠FBG，
又∵∠EGO=∠FGB（对顶角相等），
∴△EOG∽△FOB，
∴

OG

BG

=

EO

BF

=

3

4

，
∴OG=5×

3

3+4

=

15

7

．