试题

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿着折线A→B→C的路线向终点C运动，连接DM交AC于点N，连接BN．
（1）如图1，当点M在AB边上运动时．
①求证：△ABN≌△AND；
②若∠ABC=60°，∠ADM=20°，求证：MB=MN．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x，求使得△AND为等腰三角形时x的值．

（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：连接DB，
∴AC垂直平分BD，
∴NB=ND，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADM=20°，
∴∠BDN=∠DBN=10°，
∴∠BNM=∠MBN=20°，
∴MN=MB．

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=6

2

．
∴CM=CN=AC-AN=6

2

-6．
故x=12-CM=12-（6

2

-6）=18-6

2

．
综上所述：当x=6或12或18-6

2

时，△AND是等腰三角形．
（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：连接DB，
∴AC垂直平分BD，
∴NB=ND，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADM=20°，
∴∠BDN=∠DBN=10°，
∴∠BNM=∠MBN=20°，
∴MN=MB．

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=6

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．
∴CM=CN=AC-AN=6

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-6．
故x=12-CM=12-（6

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-6）=18-6

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．
综上所述：当x=6或12或18-6

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时，△AND是等腰三角形．