试题

如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=150°，正方形的边长为a，求：①∠AFE的度数；
②sin∠BEC的值．

（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，

BC=CD ∠BCE=∠DCE CE=CE

，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；

（2）解：①∵△BEC≌△DEC，
∴∠CED=∠CEB，
∵∠DEB=150°，
∴∠CEB=

1

2

∠DEB=

1

2

×150°=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBE=180°-45°-75°=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=60°；

②连接BD交AC于O，则AC⊥BD，
∵正方形的边长为a，
∴OB=

1

2

BD=

2

2

a，
过点E作EG⊥BC于G，则△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CEG=45°，CG=EG，
∠BEG=∠CEB-∠CEG=75°-45°=30°，
设BG=x，则EG=BG÷tan30°=x÷

3

3

=

3

x，
CG=a-x，
∴a-x=

3

x，
解得x=

1

3 +1

a=

3 -1

2

a，
∴BE=BG=（

3

-1）a，
sin∠BEC=

OB

BE

=

2 2 a

( 3 -1)a

=

2 ( 3 +1)

2×(3-1)

=

6 + 2

4

．
（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，

BC=CD ∠BCE=∠DCE CE=CE

，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；

（2）解：①∵△BEC≌△DEC，
∴∠CED=∠CEB，
∵∠DEB=150°，
∴∠CEB=

1

2

∠DEB=

1

2

×150°=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBE=180°-45°-75°=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=60°；

②连接BD交AC于O，则AC⊥BD，
∵正方形的边长为a，
∴OB=

1

2

BD=

2

2

a，
过点E作EG⊥BC于G，则△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CEG=45°，CG=EG，
∠BEG=∠CEB-∠CEG=75°-45°=30°，
设BG=x，则EG=BG÷tan30°=x÷

3

3

=

3

x，
CG=a-x，
∴a-x=

3

x，
解得x=

1

3 +1

a=

3 -1

2

a，
∴BE=BG=（

3

-1）a，
sin∠BEC=

OB

BE

=

2 2 a

( 3 -1)a

=

2 ( 3 +1)

2×(3-1)

=

6 + 2

4

．