试题

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想线段PG与PC之间的位置关系和数量关系，
（2）将题中的“正方形ABCD和正方形BEFG”变为“菱形ABCD和菱形BEFG”，其他条件不变．
①如图2，若∠ABC=∠BEF=60°，试探究线段PG与PC之间的位置关系和数量关系；
②若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段PG与PC之间的位置关系和数量关系（数量关系用含α的式子表示）

解：（1）PG⊥PC，PG=PC．
理由如下：如图1，延长GP交CD于H，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∵正方形ABCD和正方形BEFG的点A、B、E在同一条直线上，
∴DC∥AE∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠PHD=∠PGF，
∵在△PDH和△PFG中，

∠PDH=∠PFG ∠PHD=∠PGF DP=FP

∴△PDH≌△PFG（AAS），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，BC=CD，
∴CH=CG，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴PG⊥PC，PG=PC；

（2）①如图，延长GP交CD于H，与（1）同理可得PH=PG，CH=CG，
∴△CGH是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠CGP=

1

2

（180°-120°）=30°，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG·tan∠CGP=PG·tan30°=

3

3

PG，
故，PG⊥PC，PC=

3

3

PG；
②∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵△CGH是等腰三角形，
∴∠CGP=

1

2

[180°-（180°-2α）]=α，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG·tan∠CGP=PG·tanα，
故PG⊥PC，PC=PG·tanα．
解：（1）PG⊥PC，PG=PC．
理由如下：如图1，延长GP交CD于H，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∵正方形ABCD和正方形BEFG的点A、B、E在同一条直线上，
∴DC∥AE∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠PHD=∠PGF，
∵在△PDH和△PFG中，

∠PDH=∠PFG ∠PHD=∠PGF DP=FP

∴△PDH≌△PFG（AAS），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，BC=CD，
∴CH=CG，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴PG⊥PC，PG=PC；

（2）①如图，延长GP交CD于H，与（1）同理可得PH=PG，CH=CG，
∴△CGH是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠CGP=

1

2

（180°-120°）=30°，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG·tan∠CGP=PG·tan30°=

3

3

PG，
故，PG⊥PC，PC=

3

3

PG；
②∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵△CGH是等腰三角形，
∴∠CGP=

1

2

[180°-（180°-2α）]=α，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG·tan∠CGP=PG·tanα，
故PG⊥PC，PC=PG·tanα．