试题

（2012·和平区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（Ⅰ）请写出图中一对全等的三角形（写出一对即可）．
（Ⅱ）有下列结论：
①BG=GC；②AG∥CF；③S_△FGC=3；④图中与∠AGB相等的角有5个．
其中，正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）．

解：（Ⅰ）∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵

AE=AE AF=AD

，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
[或在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵

AG=AG AB=AF

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；]

（Ⅱ）∵CD=3DE，正方形ABCD的边长AB=6，
∴DE=

1

3

×6=2，CE=CD-DE=6-2=4，
∴EF=DE=2，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴设FG=BG=x，
则EG=x+2，CG=BC-BG=6-x，
在Rt△CEG中，EG²=CG²+CE²，
即（x+2）²=（6-x）²+4²，
整理得，16x=48，
解得x=3，
∴CG=6-x=6-3=3，
∴BG=CG，故①正确；
∵FG=CG=3，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，
∴∠GCF=∠AGB，
∴AG∥CF，故②正确；
△CEG的面积=

1

2

CE·CG=

1

2

×4×3=6，
∵EF=2，FG=3，
∴S_△FGC=

3

3+2

×6=3.6，故③错误；
与∠AGB相等的角有∠AGF、∠GCF、∠GFC、∠GAD共4个，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②．
故答案为：Rt△ADE≌Rt△AFE；①②．