试题

题目：
青果学院（2013·东城区一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为
5×（
9
4
）2012
5×（
9
4
）2012
．
答案
5×（
9
4
）2012

解：∵点A（1，0），点D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∴AD=
OD2+OA2
=
22+12
=
5
，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA1=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
又∵∠AOD=∠ABA1=90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴
OD
AB
=
OA
A1B
，
∴A1B=
OA·AB
OD
=
5
2
，
∴第二个正方形的边长：A1C=A1B1=
5
+
5
2
=
3
5
2
，
同理A2B1=
1
2
×
3
5
2
=
3
5
4
，
∴第三个正方形的边长：A2C1=A2B2=
3
5
2
+
3
5
4
=
9
5
4
=（
3
2
）2
5
，
第四个正方形的边长：
9
5
4
+
9
5
8
=
27
5
8
=（
3
2
）3
5
，
…，
第2013个正方形的边长：(
3
2
)2012×
5
，
∴第2013个正方形的面积为[(
3
2
)2012×
5
]2=5×（
9
4
）2012．
故答案为：5×（
9
4
）2012．
考点梳理
正方形的性质；坐标与图形性质．
根据点A、D的坐标求出OA、OD的长，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A1B，从而求出第二个正方形的边长A1C=A1B1，同理求出第三个正方形的边长A2C1=A2B2，根据规律求出第2013个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．
规律型．
找相似题