试题

题目：
青果学院（2007·日照）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于
3
3
3
3
．
答案
3
3

青果学院解：如图，作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，
∵四边形WEFD是矩形，∠BAB′=30°，
∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，
∴B′F=AB′sin60°=
3
2
，AF=AB′cos60°=
1
2
，WE=DF=AD-AF=
1
2
，
EB′=WE′cot60°=
3
6
，EF=B′F-B′E=
3
3
，
∴S△B′FA=
3
8
，S△B′EW=
3
24
，SWEFD=
3
6
，
∴公共部分的面积=S△B′FA+S△B′EW+SWEFD=
3
3
；
法2：连接AW，如图所示：
青果学院
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
∵
AB′=AD
AW=AW
，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=
1
2
∠DAB′=30°，
又∵AD=AB′=1，
在Rt△ADW中，tan∠DAW=
WD
AD
，即tan30°=WD，
解得：WD=
3
3
，
∴S△ADW=S△AB′W=
1
2
WD·AD=
3
6
，
则公共部分的面积=S△ADW+S△AB′W=
3
3
．
故答案为
3
3
．
考点梳理
正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．
作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积．
本题利用了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．
几何综合题．
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