试题

题目：
（2009·哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为
5
2
或
12
5
5
2
或
12
5
．
答案
5
2
或
12
5

青果学院解：如图，当BF如图位置时，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=3，
∵AB=4，BE=3，
∴AE=
AB2+BE2
=
42+32
=5，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABF的中位线，
∴SM=
1
2
BE=
1
2
×3=
3
2
，
∴BM=
1
2
AE=
1
2
×5=
5
2
，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH=
12
5
．
考点梳理
正方形的性质．
分两种情况进行分析，①当BF如图位置时，②当BF为BG位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM的长．
本题利用了全等三角形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
压轴题；分类讨论．
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