试题

如图，在矩形ABCD中，BC=3cm，DC=4cm，将该矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE与边CD交于点F．
（1）求EF的长；
（2）连接DE，求四边形ACED的面积与周长各是多少？

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，BC=3cm，DC=4cm，
∴AD=BC=3cm，AB=DC=4cm，CD∥AB，
∴AC=

AB2+BC2

=5cm，∠2=∠3，
∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，
∴∠1=∠2，AE=AB=4cm，EC=BC=3cm，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
设EF=xcm，则CF=AF=（4-x）cm，
在Rt△EFC中，EF²+EC²=FC²，即x²+3²=（4-x）²，解得x=

7

8

，即EF=

7

8

cm；

（2）由（1）可知：AF=CF，∠1=∠3，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴DE∥AC，
∵AD=CE=3cm，且AD与CE不平行，
∴四边形ACED是等腰梯形，
过点D、E分别作DM⊥AC于点M、EN⊥AC于点N，则四边形DMNE为矩形，
∴AM=BN，DE=MN，
在Rt△ACD中，

1

2

DM·AC=

1

2

AD·DC，则DM=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△ADM中，AM=

AD2-DM2

=

9

5

，
∴CN=

9

5

，
∴DE=MN=5-

9

5

-

9

5

=

7

5

，
∴四边形ACED的周长为3+3+5+

7

5

=

62

5

（cm）；
四边形ACED的面积=

1

2

（5+

7

5

）×

12

5

=

192

25

（cm²）．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，BC=3cm，DC=4cm，
∴AD=BC=3cm，AB=DC=4cm，CD∥AB，
∴AC=

AB2+BC2

=5cm，∠2=∠3，
∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，
∴∠1=∠2，AE=AB=4cm，EC=BC=3cm，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
设EF=xcm，则CF=AF=（4-x）cm，
在Rt△EFC中，EF²+EC²=FC²，即x²+3²=（4-x）²，解得x=

7

8

，即EF=

7

8

cm；

（2）由（1）可知：AF=CF，∠1=∠3，
∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴DE∥AC，
∵AD=CE=3cm，且AD与CE不平行，
∴四边形ACED是等腰梯形，
过点D、E分别作DM⊥AC于点M、EN⊥AC于点N，则四边形DMNE为矩形，
∴AM=BN，DE=MN，
在Rt△ACD中，

1

2

DM·AC=

1

2

AD·DC，则DM=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△ADM中，AM=

AD2-DM2

=

9

5

，
∴CN=

9

5

，
∴DE=MN=5-

9

5

-

9

5

=

7

5

，
∴四边形ACED的周长为3+3+5+

7

5

=

62

5

（cm）；
四边形ACED的面积=

1

2

（5+

7

5

）×

12

5

=

192

25

（cm²）．