试题

如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．   
（1）求证：AE=CG；   
（2）若CD=4，CN=5，求AM的长．

（1）证明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE与△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：在Rt△CDN中，CD=4，CN=5，
由勾股定理得，DN=

CN2-CD2

=

52-42

=3，
∴AN=4-3=1，
∵△ADE≌△CDG（已证），
∴∠DAE=∠DCG，
∵∠DCG+∠CND=180°-90°=90°，
∴∠DAE+∠CND=90°，
∴△AMN是直角三角形，
在△CDN与△AMN中，

∠DAE=∠DCG ∠CND=∠ANM(对顶角相等)

，
∴△CDN∽△AMN，
∴

AM

CD

=

AN

CN

，
即

AM

4

=

1

5

，
解得AM=

4

5

．
（1）证明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE与△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：在Rt△CDN中，CD=4，CN=5，
由勾股定理得，DN=

CN2-CD2

=

52-42

=3，
∴AN=4-3=1，
∵△ADE≌△CDG（已证），
∴∠DAE=∠DCG，
∵∠DCG+∠CND=180°-90°=90°，
∴∠DAE+∠CND=90°，
∴△AMN是直角三角形，
在△CDN与△AMN中，

∠DAE=∠DCG ∠CND=∠ANM(对顶角相等)

，
∴△CDN∽△AMN，
∴

AM

CD

=

AN

CN

，
即

AM

4

=

1

5

，
解得AM=

4

5

．