试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．
答案
解：∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=
1
2
AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，
BC=DC
∠C=∠C
∠ABC=∠EDC
，
∴△DEC≌△BAC，青果学院
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=
AC2-BC2
=2
3
．
答：DF的长为2
3
．
解：∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=
1
2
AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，
BC=DC
∠C=∠C
∠ABC=∠EDC
，
∴△DEC≌△BAC，青果学院
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=
AC2-BC2
=2
3
．
答：DF的长为2
3
．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
求证△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求证DF=DE即可解此题．
本题考查了等腰三角形各边均相等，考查了矩形内角均为直角的性质，本题中求证△DEF是等边三角形是解题的关键．
计算题．
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