试题

如图，在正方形ABCD中．
（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；
（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？

解：（1）在正方形ABCD中，AD=DC，AE=DF，∠EAD=∠FDC，
所以△EAD≌△FDC，故DE=CF，
∴∠EDA=∠FCD，
又∵∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠ADE+∠DFC=90°，
∴∠DGF=90°
即DE⊥CF．
（2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，
∵PQ=MN，RN=SQ，
∴△MNR≌△QPS（HL），
∴∠PQS=∠MNR，又∠1+∠PQS=90°，
所以∠1+∠MNR=90°，即MN⊥PQ．
解：（1）在正方形ABCD中，AD=DC，AE=DF，∠EAD=∠FDC，
所以△EAD≌△FDC，故DE=CF，
∴∠EDA=∠FCD，
又∵∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠ADE+∠DFC=90°，
∴∠DGF=90°
即DE⊥CF．
（2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，
∵PQ=MN，RN=SQ，
∴△MNR≌△QPS（HL），
∴∠PQS=∠MNR，又∠1+∠PQS=90°，
所以∠1+∠MNR=90°，即MN⊥PQ．