试题

题目：
青果学院设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点（图）．求证：∠DAE=
1
2
∠BAF．
答案
青果学院证明：如图，作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，
所以FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
AF2=AD2+DF2=a2+(
3a
4
)2=
25
16
a2，
所以AF=
5
4
a=FH．
从而CH=FH-FC=
5
4
a-
a
4
=a，
所以Rt△ABG≌Rt△HCG（AAS），GB=GC=DE=
1
2
a．
从而Rt△ABG≌Rt△ADE（SAS），
所以∠DAE=∠2=
1
2
∠BAF．
青果学院证明：如图，作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，
所以FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
AF2=AD2+DF2=a2+(
3a
4
)2=
25
16
a2，
所以AF=
5
4
a=FH．
从而CH=FH-FC=
5
4
a-
a
4
=a，
所以Rt△ABG≌Rt△HCG（AAS），GB=GC=DE=
1
2
a．
从而Rt△ABG≌Rt△ADE（SAS），
所以∠DAE=∠2=
1
2
∠BAF．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2即可，求证Rt△ABG≌Rt△ADE即可得∠DAE=∠2．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等性质，本题中正确的求Rt△ABG≌Rt△ADE是解题的关键．
证明题．
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