试题

题目：
青果学院（2011·沈阳）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA．下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF，其中正确的是
①②③⑤
①②③⑤
（只填写序号）．
答案
①②③⑤

青果学院解：∵AB=AD，AE=AF=EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE=DF，又BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠BAE=
1
2
（∠BAD-∠EAF）=
1
2
（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，
则∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
设DF=1，则AG=GF=2，DG=
3
，
∴AD=CD=2+
3
，CF=CE=CD-DF=1+
3
，
∴EF=
2
CF=
2
+
6
，而BE+DF=2，
∴④错误，
⑤∵S△ABE+S△ADF=2×
1
2
AD×DF=2+
3
，
S△CEF=
1
2
CE×CF=
(1+
3
)2
2
=2+
3
，
∴⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判断①②③正确，在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，DG=
3
，分别表示AD，CF，EF的长，判断④⑤的正确性．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．
压轴题．
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