试题

题目：
青果学院如图，已知：ABCD是正方形，E是CF上的一点，若DBEF是菱形，则∠EBC等于（　　）



答案
A
青果学院解：过D作DG⊥CF，垂足为G，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠BCD=90°，
设正方形ABCD的边长为1，即AB=BC=CD=AD=1，
∴根据勾股定理得：BD=
1+1
=
2
，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BE=EF=DF=BD=
2
，
又BD∥EF，DG⊥FC，
∴BD⊥DG，即∠BDG=90°，
∴∠CDG=∠BDG-∠BDC=90°-45°=45°，又∠DGC=90°，
∴△DCG为等腰直角三角形，又DC=1，
∴DG=DCsin45°=
2
2
，又DF=
2
，
在Rt△DFG中，由DG=
1
2
DF，
∴∠F=30°，
∴∠DBE=30°，
则∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°-30°=15°．
故选A
考点梳理
正方形的性质；菱形的性质．
过D作DG垂直于CF，垂足为G，由正方形的性质可得出正方形的四条边相等，且四个角为直角，三角形BCD为等腰直角三角形，可得出∠BDC与∠DBC都为45°，设正方形的边长为1，根据勾股定理求出BD的长为
2
，即菱形的四条边为
2
，由DG与FC垂直，且BD与EF平行，可得BD垂直于DG，进而得到∠CDG为45°，即三角形DCG为等腰直角三角形，由DC的长为1，可求出DG为
2
2
，在直角三角形DFG中，由DG为DF的一半，得到∠F为30°，再根据菱形的对角相等，可得∠DBE为30°，由∠EBC=∠DBC-∠DBE求出度数即可．
此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线DG是本题的突破点，熟练掌握图形的性质是解本题的关键．
计算题．
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