试题

如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，AF=AD，EF⊥AP于F交CD于点E，G为CB延长线上一点，且BG=DE．
（1）求证：∠BAG=

1

2

∠DAP；
（2）若DE=3，AD=5，求AP的长．

解：（1）证明：连接AE
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADC=90°．
在△ABG和△ADE中

AB=AD ∠ABG=∠ADC BG=DE

∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE．
在Rt△ABG和Rt△ADE中，

AF=AD AE=AE

，
∴Rt△ABG≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG=∠DAE=

1

2

∠DAP；
（2）∵∠BAG=∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP，
∴∠GAP=∠BAE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠GAP=∠DEA．
∵△ABG≌△ADE，
∴∠BGA=∠DEA，BG=DE，
∴∠GAP=∠BGA，
∴AP=GP
设AP=x，则GP=x，BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB²+BP²=AP²，
∴5²+（x-3）²=x²，
解得：x=

17

3

，
答：AP的长为

17

3

．
解：（1）证明：连接AE
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADC=90°．
在△ABG和△ADE中

AB=AD ∠ABG=∠ADC BG=DE

∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE．
在Rt△ABG和Rt△ADE中，

AF=AD AE=AE

，
∴Rt△ABG≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG=∠DAE=

1

2

∠DAP；
（2）∵∠BAG=∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP，
∴∠GAP=∠BAE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠GAP=∠DEA．
∵△ABG≌△ADE，
∴∠BGA=∠DEA，BG=DE，
∴∠GAP=∠BGA，
∴AP=GP
设AP=x，则GP=x，BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB²+BP²=AP²，
∴5²+（x-3）²=x²，
解得：x=

17

3

，
答：AP的长为

17

3

．