试题

已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点．
（1）如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM=CN，
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积；
（3）如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．

解：（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，．AB=BC=DC=AD．
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°，
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON．
在△OBM和△OCN中，

∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBC=∠OCD

，
△OBM≌△OCN（ASA）．
∴OM=ON；

（2）∵△OBM≌△OCN，
∴S_△OBM=S_△OCN．
∴S_△OBM+S_△MOC=S_△OCN+S_△MOC，
即S_△OBC=S_{四边形MONC}．
∵S_△OBC=4×4×

1

4

=4，
∴S_{四边形MONC}=4；

（3）绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴∠4=∠1．AE=AN，BE=DN．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°．
∵∠4+∠3=∠MAE=45°．
∴∠MAE=∠2．
在△ANM和△AEM中，

AN=AE ∠2=∠MAE AM=AM

，
∴△ANM≌△AEM（SAS），
∴MN=ME=MB+BE，
∴MN=DN+MB．
∵C_△MNC=MN+MC+CN，
∴C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC．
∴△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．
解：（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，．AB=BC=DC=AD．
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°，
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON．
在△OBM和△OCN中，

∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBC=∠OCD

，
△OBM≌△OCN（ASA）．
∴OM=ON；

（2）∵△OBM≌△OCN，
∴S_△OBM=S_△OCN．
∴S_△OBM+S_△MOC=S_△OCN+S_△MOC，
即S_△OBC=S_{四边形MONC}．
∵S_△OBC=4×4×

1

4

=4，
∴S_{四边形MONC}=4；

（3）绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴∠4=∠1．AE=AN，BE=DN．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°．
∵∠4+∠3=∠MAE=45°．
∴∠MAE=∠2．
在△ANM和△AEM中，

AN=AE ∠2=∠MAE AM=AM

，
∴△ANM≌△AEM（SAS），
∴MN=ME=MB+BE，
∴MN=DN+MB．
∵C_△MNC=MN+MC+CN，
∴C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC．
∴△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．