试题

如图，有一块面积为4的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将C点折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连接PQ、PC．
（1）试判断△PBC的形状，并说明理由；
（2）求PM的长．

解：（1）△PBC是正三角形，
理由：∵正方形ABCD中，AD

∥

.

BC，
而AM=

1

2

AD，BN=

1

2

BC，∴AM

∥

.

BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵∠A=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴∠1=90°．
∵BN=NC，∴PB=PC，又由折叠知△BQC≌△BQP，
∴BP=BC，∴BP=PC=CB，∴△BPC是正三角形．

（2）由（1）得∠1=90°．∴∠4=90°．
∵S_{正方形ABCD}=4，∴BC=AB=2，
由（1）及△PBC是正三角形，
∴PC=BC=2，NC=

1

2

BC=1，∴PN=

PC2-NC2

=

3

．
由（1）及矩形ABNM中，MN=AB=2，∴PM=MN-PN=2-

3

．
解：（1）△PBC是正三角形，
理由：∵正方形ABCD中，AD

∥

.

BC，
而AM=

1

2

AD，BN=

1

2

BC，∴AM

∥

.

BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵∠A=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴∠1=90°．
∵BN=NC，∴PB=PC，又由折叠知△BQC≌△BQP，
∴BP=BC，∴BP=PC=CB，∴△BPC是正三角形．

（2）由（1）得∠1=90°．∴∠4=90°．
∵S_{正方形ABCD}=4，∴BC=AB=2，
由（1）及△PBC是正三角形，
∴PC=BC=2，NC=

1

2

BC=1，∴PN=

PC2-NC2

=

3

．
由（1）及矩形ABNM中，MN=AB=2，∴PM=MN-PN=2-

3

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