试题

如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P．
（1）若AM=5，①求AE的长；②求折痕EF的长．
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

解：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，
在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE²+AM²=EM²，即x²+5²=（12-x）²，
解得x=

119

24

，即AE=

119

24

cm；
②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵四边形BCFG是矩形，
∴FG=BC，
∴AB=FG，
∵BM⊥FE，
∴∠EBM+∠BEF=90°，
∵∠BMA+∠EBM=90°，
∠BEF=∠BMA，
又∵∠A=∠EGF=90°，
∴△ABM≌△GFE，
∴EF=BM=

AB2+AM2

=

122+52

=13cm；

（2）△PDM的周长不变，为24cm．
理由：设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²+AM²=EM²，
x²+y²=（12-x）²，解得144-y²=24x，
∵∠EMP=90°，∠A=∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴

AE+EM+AM

DM+MP+DP

=

AE

MD

，即

x+12-x+y

DM+MP+DP

=

x

12-y

，
解得DM+MP+DP=

144-y2

x

=24．
解：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，
在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE²+AM²=EM²，即x²+5²=（12-x）²，
解得x=

119

24

，即AE=

119

24

cm；
②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵四边形BCFG是矩形，
∴FG=BC，
∴AB=FG，
∵BM⊥FE，
∴∠EBM+∠BEF=90°，
∵∠BMA+∠EBM=90°，
∠BEF=∠BMA，
又∵∠A=∠EGF=90°，
∴△ABM≌△GFE，
∴EF=BM=

AB2+AM2

=

122+52

=13cm；

（2）△PDM的周长不变，为24cm．
理由：设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²+AM²=EM²，
x²+y²=（12-x）²，解得144-y²=24x，
∵∠EMP=90°，∠A=∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴

AE+EM+AM

DM+MP+DP

=

AE

MD

，即

x+12-x+y

DM+MP+DP

=

x

12-y

，
解得DM+MP+DP=

144-y2

x

=24．