试题

正方形ABCD的对角线交于点O，过顶点D作AC的平行线，在这条线上取一点E，连接AE，CE，使AE=AC，AE交CD于F．则下列结论：
①CE=CF；②∠ACE=75°；③△DFE是等腰三角形；④若AB=1，则CE=

3

-1；⑤

S△DFE

S△CFA

=

2- 3

2

正确的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5

C
解：如图，过点E作EG⊥AC于G，
∵正方形的对角线AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∴四边形ODEG是矩形，
∴GE=OD，
∵AE=AC，AC=2·OD，
∴∠CAE=30°，
在△ACF中，∠CFE=∠CAE+∠ACD=30°+45°=75°，
在等腰△ACE中，∠ACE=∠AEC=

1

2

（180°-30°）=75°，故②正确，
∴∠AEC=∠CFE，
∴CE=CF，故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠ACF=45°，∠DEF=∠CAE=30°，
∴△DFE不可能是等腰三角形，故③错误；
∵AB=1，
∴AE=AC=

2

AB=

2

，
在Rt△AEG中，GE=

1

2

AE=

1

2

×

2

=

2

2

，
AG=

AE2-GE2

=

2 2-( 2 2 )2

=

6

2

，
∴CG=AC-AG=

2

-

6

2

，
在Rt△CEG中，CE=

GE2+CG2

=

( 2 2 )2+( 2 - 6 2 )2

=

4-2 3

=

( 3 -1)2

=

3

-1，故④正确；
∵FC=EC=

3

-1，
∴DF=CD-FC=1-（

3

-1）=2-

3

，
∵DE∥AC，
∴△DFE∽△CFA，
∴

S△DFE

S△CFA

=（

DF

FC

）²=（

2- 3

3 -1

）²=

2- 3

2

，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②④⑤共4个．
故选C．