试题

在正方形ABCD中，F点是BC上一点，连接DF，过点D作DE⊥DF交BA延长线于E点，连接EF，与BD交于点M．
（1）若DE=2，求EF的长；
（2）∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥EF于H，过点D作DN⊥EF于N．求证：HG+DN=AD．

（1）解：正方形ABCD中，AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，
∵DE⊥DF，交BA延长线于E点，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠FDA+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
∵在△EAD和△FCD中，

∠EDA=∠FDC AD=DC ∠EDA=∠FDC

，
∴△EAD≌△FCD（ASA），
∴ED=DF，
又∵DE⊥DF，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF=

2

DE=2

2

；

（2）证明：过G点作GP⊥AB于P，
则△PBG为等腰直角三角形，
则BG=

2

PG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠GEF，
又∵GP⊥AB，GH⊥EF，
∴PG=GH，
∴BG=

2

GH，
∵由（1）知，∠DEF=45°，
∴∠DEG=45°+∠FEG，
∠DGE=∠BEG+45°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
在等腰直角△EDF中，∵DN⊥EF，
∴DE=

2

DN，
∴DG=

2

DN，
又∵BD=

2

AD，BD=BG+GD，
即

2

AD=

2

GH+

2

DN，
∴AD=GH+DN．
（1）解：正方形ABCD中，AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，
∵DE⊥DF，交BA延长线于E点，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠FDA+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
∵在△EAD和△FCD中，

∠EDA=∠FDC AD=DC ∠EDA=∠FDC

，
∴△EAD≌△FCD（ASA），
∴ED=DF，
又∵DE⊥DF，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF=

2

DE=2

2

；

（2）证明：过G点作GP⊥AB于P，
则△PBG为等腰直角三角形，
则BG=

2

PG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠GEF，
又∵GP⊥AB，GH⊥EF，
∴PG=GH，
∴BG=

2

GH，
∵由（1）知，∠DEF=45°，
∴∠DEG=45°+∠FEG，
∠DGE=∠BEG+45°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
在等腰直角△EDF中，∵DN⊥EF，
∴DE=

2

DN，
∴DG=

2

DN，
又∵BD=

2

AD，BD=BG+GD，
即

2

AD=

2

GH+

2

DN，
∴AD=GH+DN．