试题

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是AB和AD延长线上的点，BE=DF．
（1）求证：△CEF是等腰直角三角形；
（2）若S_△CEF=

17

2

，①当AF=5DF时，求正方形ABCD的边长；②通过探究，直接写出当AB=kDF（k＞1）时，正方形ABCD的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠CDF=180°-∠ADC=90°，
∴∠B=∠CDF，
在△BEC和△DFC中，

BC=DC ∠B=∠CDF BE=DF

，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴EC=FC，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠DCF+DCE=90°，
即∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；

（2）解：①∵AF=5DF，
∴可设DF=x，（x＞0），则AF=5x，BC=AD=4x，BE=x，
由勾股定理得：CE²=x²+（4x）²=17x²，
∵S_△CEF=

17

2

，且△CEF是等腰直角三角形，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

×17x²=

17

2

，
解得：x=1，
∴AD=4，
即正方形ABCD的边长为4；
②当AB=kDF（k＞1）时，CE²=DF²+CD²=（k²+1）DF²，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

（k²+1）DF²=

17

2

，
∴DF²=

17

k2+1

，
∴AB²=k²DF²=

17k2

k2+1

，
即正方形的面积为

17k2

k2+1

．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠CDF=180°-∠ADC=90°，
∴∠B=∠CDF，
在△BEC和△DFC中，

BC=DC ∠B=∠CDF BE=DF

，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴EC=FC，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠DCF+DCE=90°，
即∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；

（2）解：①∵AF=5DF，
∴可设DF=x，（x＞0），则AF=5x，BC=AD=4x，BE=x，
由勾股定理得：CE²=x²+（4x）²=17x²，
∵S_△CEF=

17

2

，且△CEF是等腰直角三角形，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

×17x²=

17

2

，
解得：x=1，
∴AD=4，
即正方形ABCD的边长为4；
②当AB=kDF（k＞1）时，CE²=DF²+CD²=（k²+1）DF²，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

（k²+1）DF²=

17

2

，
∴DF²=

17

k2+1

，
∴AB²=k²DF²=

17k2

k2+1

，
即正方形的面积为

17k2

k2+1

．