试题

题目：
正方形ABCD的边长为1，M为AB的中点，N为BC的中点，AN、CM相交于点O，则四边形AOCD的面积是（　　）



答案
A
青果学院解：如图，连接OB，
∵M为AB的中点，N为BC的中点，
∴AM=MB=CN=NB=
1
2
，
∴tan∠BAN=tan∠BCM=
1
2
，
∴∠BAN=∠BCM，
在△AMO和△CNO中，
∵
∠BAN=∠BCM
AM=CN
∠AOM=∠CON(对顶角相等)
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴OM=ON，
在△BOM和△BON中，
∵
OM=ON
MB=NB
OB=OB
，
∴△BOM≌△BON（SSS），
又∵M、N是AB，AC的中点，
∴S△AOM=S△BOM=S△BON=S△CON，
∵S△ABN=
1
2
×1×
1
2
=
1
4
，
∴S△AOM=
1
4
÷3=
1
12
，
∴S四边形AOCD=1-
1
12
×4=
2
3
．
故选A．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
利用锐角的正切值相等求出∠BAN=∠BCM，然后利用“角角边”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，再利用“SSS”证明△BOM与△BON全等，根据全等三角形的面积相等以及等底等高的三角形的面积相等可得S△AOM=S△BOM=S△BON=S△CON，再根据△ABN的面积求出△AOM的面积，然后用正方形的面积减去四部分三角形的面积，计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，求出△BOM与△BON全等是解题的关键，作出图形更形象直观．
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