试题

（1）如图，P是正方形ABCD的BC边上的中点，AP⊥PQ，且PQ交∠DCB的外角平分线于Q．求证：AP=PQ
（2）P是正方形ABCD的BC边所在直线上的任一点，AP⊥PQ，且PQ交∠DCB的外角平分线所在直线于Q．（1）中的结论是否成立？试证之．

（1）证明：过点Q作QM⊥PC，于点M，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPM=90°，
∵∠QPM+∠PQM=90°，
∴∠PQM=∠APB，
∵∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP∽△PMQ，
∵P是正方形ABCD的BC边上的中点，
∴BP=PC=

1

2

AB，
∴

QM

PM

=

1

2

，
∵PQ交∠DCB的外角平分线于Q．
∴QM=CM，
∴QM=CM=PC，
∴QM=BP，
∵∠PQM=∠APB，
∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP≌△PMQ，
∴PA=PQ．

（2）证明：在AB上取一点M，使BM=BP，连接MP．
∴AM=CP．
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°．
∵CQ是外角平分线，
∴∠DCQ=45°，
∴∠PCQ=135°．
∴∠AMP=∠PCQ．
∵∠APB+∠BAP=90°，∠APB+∠CPF=90°，
∴∠BAP=∠CPF．
∴△AMP≌△QCP（ASA）．
∴AP=QP．
（1）证明：过点Q作QM⊥PC，于点M，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPM=90°，
∵∠QPM+∠PQM=90°，
∴∠PQM=∠APB，
∵∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP∽△PMQ，
∵P是正方形ABCD的BC边上的中点，
∴BP=PC=

1

2

AB，
∴

QM

PM

=

1

2

，
∵PQ交∠DCB的外角平分线于Q．
∴QM=CM，
∴QM=CM=PC，
∴QM=BP，
∵∠PQM=∠APB，
∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP≌△PMQ，
∴PA=PQ．

（2）证明：在AB上取一点M，使BM=BP，连接MP．
∴AM=CP．
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°．
∵CQ是外角平分线，
∴∠DCQ=45°，
∴∠PCQ=135°．
∴∠AMP=∠PCQ．
∵∠APB+∠BAP=90°，∠APB+∠CPF=90°，
∴∠BAP=∠CPF．
∴△AMP≌△QCP（ASA）．
∴AP=QP．