试题

以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG．△ABC的高为AH．求证：AH，BF，CD交于一点．

证明：如图，延长HA到M，
使AM=BC．连CM，BM．
设CM与BF交于点K．
在△ACM和△BCF中，
AC=CF，AM=BC，
∠MAC+∠HAC=180°，
∠HAC+∠HCA=90°，
并且∠BCF=90°+∠HCA，
因此∠BCF+∠HAC=180°，
∠MAC=∠BCF．
从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB．
所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°，
即BF丄MC．
同理CD丄MB．AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点．
证明：如图，延长HA到M，
使AM=BC．连CM，BM．
设CM与BF交于点K．
在△ACM和△BCF中，
AC=CF，AM=BC，
∠MAC+∠HAC=180°，
∠HAC+∠HCA=90°，
并且∠BCF=90°+∠HCA，
因此∠BCF+∠HAC=180°，
∠MAC=∠BCF．
从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB．
所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°，
即BF丄MC．
同理CD丄MB．AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点．