试题

如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=

6

．下列结论：
①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为

3

﹔③EB⊥ED﹔④S_△APD+S_△APB=0.5+

2

．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②④

A
解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，

AE=AP ∠BAE=∠DAP AB=AD

，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；

∵AE=AP=1，
∴PE=

2

AE=

2

，
在Rt△PBE中，BE=

PB2-PE2

=

6 2- 2 2

=2，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2，
=0.5+

2

，故④正确；

过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=

2

2

×2=

2

，
即点B到直线AE的距离为

2

，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选A．