试题

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

C
解：①在△ADF和△DCE中，

∠ADF=∠DCE ∠DAF=∠EDC AD=CD

，
∴△ADF≌△DCE，
故本选项正确；

②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中

AE=AF ∠NAF=∠NAE AN=AN

，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN错误，
故本选项错误；

③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=

1

2

AB=

1

2

DC，
∴

CN

AN

=

CD

AF

=2，
∴CN=2AN，
故本选项正确；

④连接CF，
设S_△ANF=1，
则S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四边形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5，
故本选项正确；

⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，
根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
在△DAF与△GBF中，

∠ADF=∠G ∠DAB=∠GBF=90° AF=BF

，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故选项正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选C．