试题

正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=

2

，∠PCQ=36°，则PC=

5

+1；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=

3

+1．其中正确的说法有（　　）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

A
（1）证明：延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA=∠DCA=45°，CD=DA=AB=BC，∠D=∠EBC=90°，
∴在△BEC和△DQC中，

DQ=BE ∠D=∠EBC BC=CD

，
∴△BEC≌△DQC（SAS），
∴CE=CQ，∠BCE=∠DCQ，
∵∠PCQ=45°，
∴∠DCQ+∠PCB=45°，
∴∠BCE+∠PCB=45°，即∠ECP=45°，
∵在△PCE和△PCQ中，

PC=PC ∠ECP=∠QCP CQ=CE

，
∴△PCE≌△PCQ（SAS），
∴PE=PQ，
∵PE=PB+BE=PB+QD，
∴PQ=PB+QD，

（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=AB=BC=CD，
∵∠PCQ=36°，AP=AQ=

2

，
∴PQ=2，PB=QD，
∴PE=PC-2，
∵在△PBC和△QDC中，

QD=PB ∠B=∠D DC=BC

，
∴△PBC≌△QDC（SAS），
∴QC=PC，
∴∠CPQ=∠CQP=72°，
∴∠PQE=∠EQC=36°，
∴QE=QP=EC=2，
∵△QPE∽△CQP，
∴PQ：QC=PE：PQ，即PQ²=PE·PC，
∵PQ=2，
∴PE·PC=4，
∵PE=PC-2，
∴PC²-2PC-4=0，
解得：PC₁=1-

5

＜0（舍去），PC₂=1+

5

，
∴PC=

5

+1，

（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=AD，∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°，
∵△PCQ为正三角形，
∴QC=PQ=PC，∠QCP=60°，
∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，

PC=CQ BC=CD

，
∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），
∴∠BCP=∠DCQ=

90°-60°

2

=15°，PB=QD，
∵E为PC的中点，
∴BE=EC=PE=

1

2

PC，
∴∠BEM=30°，
∴2BM=BE，
∴4BM=PC，
∵PC=

2

AP，
∴4BM=

2

AP，
∵BM⊥PC，∠BCP=15°，
∴∠PBM=15°，
∴△PBM∽△PCB，
∴BP：PC=BM：BC，
∵PB=1，
∴BC=AB=AP+1，
∴

1

2 AP

=

2 4 AP

AP+1

，
∴

1

2

AP²-AP-1=0，
解得：AP₁=1+

3

，AP₂=1-

3

＜0（舍去），
∴AP=

3

+1，
∴其中说法正确的共3个，
故选择A．