试题

（2013·雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正确结论有（　　）个．
A．2
B．3
C．4
D．5

C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF AB=AD

，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，①正确．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°②正确，
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=

2

x，CG=

2

2

x，AG=

6

2

x，
∴AC=

6 x+ 2 x

2

，
∴AB=

3 x+x

2

，
∴BE=

3 x+x

2

-x=

3 x-x

2

，
∴BE+DF=

3

x-x≠

2

x，④错误，
∵S_△CEF=

x2

2

，
S_△ABE=

3 x-x 2 · 3 x+x 2

2

=

x2

4

，
∴2S_△ABE=

x2

2

=S_△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有4个，故选C．