试题

题目：
青果学院将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．
（1）若M恰好是CD的中点，求△MDE三边之比；
（2）若AB=4，设MD=y，DE=x，试求y与x的函数关系式．
答案
解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，AE=t，则DE=2a-t，
∵正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，
∴EM=EA=2a-t，
在Rt△DEM中，∵DE2+DM2=EM2，
∴（2a-t）2+a2=t2，解得t=
5
4
a，
∴DE=2a-
5a
4
=
3
4
a，
∴DE：DM：EM=
3
4
a：a：
5
4
a=3：4：5；
（2）∵AB=4，DE=x，
∴AE=4-x，
∵正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，
∴EM=EA=4-x，
在Rt△DEM中，∵DE2+DM2=EM2，
∴x2+y2=（4-x）2，
∴y=
16-8x
=2
8-x
（0≤x≤4）．
解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，AE=t，则DE=2a-t，
∵正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，
∴EM=EA=2a-t，
在Rt△DEM中，∵DE2+DM2=EM2，
∴（2a-t）2+a2=t2，解得t=
5
4
a，
∴DE=2a-
5a
4
=
3
4
a，
∴DE：DM：EM=
3
4
a：a：
5
4
a=3：4：5；
（2）∵AB=4，DE=x，
∴AE=4-x，
∵正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，
∴EM=EA=4-x，
在Rt△DEM中，∵DE2+DM2=EM2，
∴x2+y2=（4-x）2，
∴y=
16-8x
=2
8-x
（0≤x≤4）．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
（1）设正方形ABCD的边长为2a，AE=t，则DE=2a-t，根据折叠的性质得EM=EA=2a-t，在Rt△DEM中利用勾股定理得（2a-t）2+a2=t2，解得t=
5
4
a，
则DE=
3
4
a，所以DE：DM：EM=
3
4
a：a：
5
4
a=3：4：5；
（2）由AB=4，DE=x得到AE=4-x，再根据折叠的性质得EM=EA=4-x，在Rt△DEM中，利用勾股定理得x2+y2=（4-x）2，变形得y=
16-8x
=2
8-x
（0≤x≤4）．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．
计算题．
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