试题

已知在正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，∠E=90°，G为DF的中点，求证：CG⊥EG且CG=EG．

证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，
∴EG=DG=

1

2

DF，CG=DG=

1

2

DF．
∴EG=CG，∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD．
∵∠FGE=∠GED+∠GDE，∠FGC=∠GCD+∠GDC，
∴∠FGE=2∠GDE，∠FGC=2∠GDC，
∴∠FGE+∠FGC=2（∠GDE+∠GDC）．
∵∠GDE+∠GDC=∠BDC=45°，
∴∠FGE+∠FGC=90°．
∴∠EGC=90°，
∴CG⊥EG．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，
∴EG=DG=

1

2

DF，CG=DG=

1

2

DF．
∴EG=CG，∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD．
∵∠FGE=∠GED+∠GDE，∠FGC=∠GCD+∠GDC，
∴∠FGE=2∠GDE，∠FGC=2∠GDC，
∴∠FGE+∠FGC=2（∠GDE+∠GDC）．
∵∠GDE+∠GDC=∠BDC=45°，
∴∠FGE+∠FGC=90°．
∴∠EGC=90°，
∴CG⊥EG．