数学

（2007·衢州）如图，点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整数）依次为一次函数y=

的图象上的点，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x₁=a（0＜a＜1），△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分别是以B₁，B₂，B₃，…，B_n为顶点的等腰三角形．
（1）写出B₂，B_n两点的坐标；
（2）求x₂，x₃（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．

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（2007·绍兴）设关于x的一次函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂，则称函数y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．

（2007·随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-

，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4

），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的

；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）

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（2007·乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为(2

，2)，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；
（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径

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作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R的取值范围．

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（2008·长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．

（1）s与t之间的函数关系式是：

；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是：

秒首次到达点B；

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（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．

（2008·龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在

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FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式．

（2008·太原）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-

x+3交于点A，分别交x轴于点B和点

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C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出

的值；如果不存在，请说明理由．

（2008·天门）如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒

个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．
（1）点N的坐标为（

）；（用含x的代数式表示）
（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；
（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，

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试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．

（2008·永春县）在平面直角坐标系中，直线y=-

x+6与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）直线y=x与直线y=-

x+6交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP=t）．过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．
①若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时，过P、Q、O三点的圆与x轴相切？

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（2009·防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=-

（x-6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长；
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，当点N运动到什么位置时，S₁·S₂的值最大，并求出此时点N的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M

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的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．

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