试题

（2007·随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-

3

x-6

3

，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4

3

），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的

5

16

；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）

解：（1）E（6，0），F（2，4

3

），EF所在直线的解析式为y=-

3

x+6

3

．

（2）梯形OEFG的面积为

1

2

（2+6）·4

3

=16

3

，
∵点A（a，b）在直线EF上，
∴A（a，-

3

a+6

3

)，
由题意得S=(-

3

a+6

3

)·a，
若S的值为5

3

，则(-

3

a+6

3

)·a=5

3

，
(-

3

a+6

3

)·a=5

3

，
即a²-6a+5=0，∴a₁=1，a₂=5，
又a₁=1不合题意，舍去，取a=5；
∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的

5

16

．

（3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，
∵点A在直线y=-

3

x+6

3

上，∴AM=-

3

x+6

3

，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=

1

2

AP=

1

2

AM；
∴OP=OQ+QP=

3

2

AM=

3

2

（-

3

x+6

3

），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OM·tan∠PMO=

3

x；
∴

3

2

（-

3

x+6

3

）=

3

x，x=

18

5

．
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P₂在y轴的负半轴上；
Rt△P₂OM中，∠P₂MO=120°-90°=30°，且OM仍为

18

5

；
∴OP2=OM·tan∠P2MO=

18

5

·tan30°=

18

5

·

3

3

=

6

5

3

，
即P2(0，-

6

5

3

)；
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P₃作P₃N⊥AM于点M，
设OM=x，在Rt△P₃OM中，∠P₃MO=90°-30°=60°，
∴OP3=OM·tan∠P3MO=

3

x，
∴AM=2NM=2·OP3=2

3

x，
∴2

3

x=-

3

x+6

3

，x=2，
此时点A的坐标为(2，4

3

)，即点A与点F重合，∴OP3=2

3

，即P3(0，2

3

)，
由①，②，③得，满足条件的点P坐标为(0，

18

5

3

)，(0，-

6

5

3

)，(0，2

3

)．
解：（1）E（6，0），F（2，4

3

），EF所在直线的解析式为y=-

3

x+6

3

．

（2）梯形OEFG的面积为

1

2

（2+6）·4

3

=16

3

，
∵点A（a，b）在直线EF上，
∴A（a，-

3

a+6

3

)，
由题意得S=(-

3

a+6

3

)·a，
若S的值为5

3

，则(-

3

a+6

3

)·a=5

3

，
(-

3

a+6

3

)·a=5

3

，
即a²-6a+5=0，∴a₁=1，a₂=5，
又a₁=1不合题意，舍去，取a=5；
∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的

5

16

．

（3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，
∵点A在直线y=-

3

x+6

3

上，∴AM=-

3

x+6

3

，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=

1

2

AP=

1

2

AM；
∴OP=OQ+QP=

3

2

AM=

3

2

（-

3

x+6

3

），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OM·tan∠PMO=

3

x；
∴

3

2

（-

3

x+6

3

）=

3

x，x=

18

5

．
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P₂在y轴的负半轴上；
Rt△P₂OM中，∠P₂MO=120°-90°=30°，且OM仍为

18

5

；
∴OP2=OM·tan∠P2MO=

18

5

·tan30°=

18

5

·

3

3

=

6

5

3

，
即P2(0，-

6

5

3

)；
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P₃作P₃N⊥AM于点M，
设OM=x，在Rt△P₃OM中，∠P₃MO=90°-30°=60°，
∴OP3=OM·tan∠P3MO=

3

x，
∴AM=2NM=2·OP3=2

3

x，
∴2

3

x=-

3

x+6

3

，x=2，
此时点A的坐标为(2，4

3

)，即点A与点F重合，∴OP3=2

3

，即P3(0，2

3

)，
由①，②，③得，满足条件的点P坐标为(0，

18

5

3

)，(0，-

6

5

3

)，(0，2

3

)．